Στο σύγχρονο κόσμο, οι μαθηματικές επιστήμες αποτελούν τον ακρογωνιαίο λίθο της τεχνολογικής προόδου, παρέχοντας το αναλυτικό πλαίσιο που είναι απαραίτητο για την κατανόηση πολύπλοκων φαινομένων και την επίλυση περίπλοκων προβλημάτων σε διάφορους τομείς. Παράλληλα, η διάχυτη επιρροή της Τεχνητής Νοημοσύνης (ΤΝ) έχει επιφέρει καταλυτικές αλλαγές στην εργασία, την κοινωνία, και την οικονομία, εισάγοντας πρωτοφανή αποτελεσματικότητα, κυρίως μέσω μεθόδων αυτοματισμού. Μέσα σε αυτό το πλαίσιο, ξεδιπλώνεται η συνέργεια μεταξύ της ΤΝ και των Μαθηματικών, αναδιαμορφώνοντας τα ίδια τα δομικά στοιχεία και των δύο κλάδων. Εν πρώτοις, η ΤΝ παραμένει βαθιά ριζωμένη σε προϋπάρχουσες θεμελιώδεις μαθηματικές έννοιες όπως η Ανάλυση (π.χ. διαφορικός και ολοκληρωτικός λογισμός), η Στατιστική (π.χ. θεωρία πιθανοτήτων), και η Μαθηματική Λογική (π.χ. θεωρία μοντέλων/συνόλων ή θεωρία γράφων/δικτύων). Οι μηχανισμοί επίλυσης προβλημάτων της Εκμάθησης Μηχανής (Machine Learning) αποτελούν ένα τυπικό παράδειγμα αυτής της συμβιωτικής σχέσης, ενώ θέτουν τις βάσεις αμοιβαίας επιρροής και προόδου. Αυτή η σχέση γίνεται ιδιαίτερα εμφανής στις μη αναλυτικές προσεγγίσεις, όπου συνήθως ευρετικοί αλγόριθμοι (η αιχμή του δόρατος των σύγχρονων μαθηματικών μοντέλων) δεν λειτουργούν μέσω ρητού προγραμματισμού, αλλά αυτό-ενισχύονται μέσα από αναδυόμενα πρότυπα και παράγουν προβλέψεις βάσει ιστορικών καταγραφών. Συνεπώς, η πρόοδος στα μαθηματικά ασκεί μια μεταμορφωτική επιρροή στην ΤΝ. Οι νέες μαθηματικές έννοιες και τεχνικές επηρεάζουν άμεσα το υπολογιστικό κόστος, τις χωρητικότητες μνήμης και τις ιεραρχικές δομές στα εν λόγω συστήματα. Αυτές οι εξελίξεις ανοίγουν το δρόμο για ολοένα και πιο αποτελεσματικούς και αποδοτικούς αλγόριθμους, μειώνοντας τον χρόνο και την ισχύ που απαιτούνται για πολύπλοκους υπολογισμούς.

Ταυτόχρονα, η ΤΝ δίνει τη δυνατότητα στους ίδιους τους μαθηματικούς να υπερβούν τα παραδοσιακά όρια στην επίλυση χρονιζόντων μαθηματικών προβλημάτων. Αξιοποιώντας ευρετικές μεθοδολογίες (heuristics) και προσομοιώσεις (simulations) βασιζόμενες σε δεδομένα, η ΤΝ προσφέρει εναλλακτικές στρατηγικές που ξεπερνούν τη συμβατική συλλογιστική και τις στατιστικές υποθέσεις. Αυτό επιτρέπει στους μαθηματικούς να αντιπαρέρχονται προκλήσεις πολυπλοκότητας άνευ προηγουμένου, και να επιχειρήσουν να αντιμετωπίσουν προβλήματα που μέχρι πρότινος θεωρούνταν αδιευκρίνιστα ή δυσεπίλυτα, μέσα σε λογικά χρονικά πλαίσια. Η συνεξέλιξη της ΤΝ και της μαθηματικής θεωρίας ωθεί έτσι και τα δύο πεδία σε αχαρτογράφητες περιοχές, όπου υπολογιστική ικανότητα και αυτόματη ή και αυτόνομη επεξεργασία συγκλίνουν για να επανακαθορίσουν τα όρια του αόριστου και του αδύνατου.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 2.0

ΣΗΜΕΙΑ ΤΩΝ ΚΑΙΡΩΝ

Στην εποχή της ΤΝ, οι καιροί φαίνονται να αλλάζουν με ασύλληπτη ταχύτητα, με τις εξειδικευμένες γνώσεις και δεξιότητες να χάνουν την επικαιρότητά τους προτού καν προλάβουν να διαδοθούν. Οι ραγδαίες εξελίξεις επιβάλλουν την ανάγκη για γνωστικό εξοπλισμό με σταθερές και ανθεκτικές αξίες, ικανές να αντιμετωπίσουν τις σφοδρές μεταλλαγές που έχουν ξεκινήσει τις τελευταίες δεκαετίες και συνεχίζουν να επιδρούν καταιγιστικά στους αλληλεξαρτώμενους τομείς της τεχνολογίας, της οικονομίας και των γεωπολιτικών και κοινωνικών ανακατατάξεων.

Η εξειδίκευση της γνώσης ανέκυψε ως αντίδραση στην ανάγκη μείωσης του κόστους παραγωγής ανταλλακτικών αξιών και την επικράτηση της συγκέντρωσης πλούτου μέσω του κέρδους, στην αγορά. Αυτή η ανάγκη εξυπηρετείται με τη δημιουργία εξειδικευμένων εργατών, οι οποίοι μπορούν να ενσωματωθούν άμεσα στην παραγωγή χωρίς να απαιτείται πλήρης κατανόηση του παραγόμενου αγαθού, του πελάτη, ή της αξίας της παρεχόμενης εργασίας. Αυτές οι γνώσεις συχνά εμφανίζονται πολλές, βαθιές, αλλά και περιορισμένες στο πλαίσιο κάθε επιστημονικού πεδίου, δημιουργώντας έτσι μια κλειστή ορολογία που απομονώνει τους ειδικούς (κι αποκλείοντας τους μη ειδικούς από την κατανόηση και την πρόσβαση στην εκάστοτε γνωστική περιοχή). Η καθολικότητα (η διαχρονικότητα και η διεθνικότητα) των μαθηματικών ωστόσο, συνεχίζει να απαιτεί διαρκή επικοινωνία και αλληλεπίδραση. Σε επίπεδο εκπαίδευσης, προϋποθέτει την επιστημολογική ενδυνάμωση/χειραφέτηση των μαθητών, αλλά και την οικοδόμηση ποιοτικών χαρακτηριστικών του μαθηματικού γραμματισμού ως πεδίου συγκρότησης του μελλοντικού πολίτη. Επομένως, η περίφημη «θετική» επιστήμη οφείλει να αναπροσαρμοστεί, ώστε να συμπεριλάβει την διευρυμένη προοπτική που παρέχουν οι σύγχρονοι υπολογιστές στην δημιουργική επίλυση προβλημάτων, αλλά και την εν γένει διαμόρφωση θεωρημάτων ή και την πρόταση πιθανών λύσεων για μη αποδεδειγμένες ιδέες (Nature 2021).

ΤΟ ΠΑΡΑΔΟΞΟ ΤΗΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΤΙΚΗΣ

Η αξιωματική θεμελίωση μιας επιστήμης ορίζει έναν ελάχιστο αριθμό λογικών προτάσεων, αναπόδεικτων όμως κοινά αποδεκτών, πάνω στις οποίες χτίζονται (αυθαίρετα) με λογικές ακολουθίες αληθών προτάσεων που οδηγούν σε προτάσεις αληθείς, τα θεωρήματα. Ένα σύνολο θεωρημάτων που ριζώνουν σε ένα πεπερασμένο αριθμό αιτημάτων διαμορφώνει μια θεωρία. Περισσότεροι από τα αιτήματα είναι οι όροι ή ορισμοί. Οι ορισμοί είναι η γέφυρα της θεωρίας με την εφαρμογή αλλά και την πηγή της θεωρίας, που στηρίζεται στην εμπειρική παρατήρηση. Επομένως, η ΤΝ και τα μαθηματικά εξυπηρετούν κοινούς σκοπούς, κατορθώνουν να βρίσκουν κοινό τόπο, αλλά και κοινό λόγο.

Ετυμολογικά αλλά και εννοιολογικά (και σύμφωνα με την φιλοσοφία), μαθηματικό μπορεί να θεωρηθεί ό,τι σχετίζεται με την μάθηση, όπως πολιτικό είναι ό,τι σχετίζεται με την πολιτεία, κοινωνικό είναι ό,τι σχετίζεται με την κοινωνία, και μηχανικό είναι ό,τι σχετίζεται με τη μηχανή. Εξορισμού, κάθε μηχανή απαιτεί την μαθητεία νέων πραγμάτων και κάθε λειτουργία μηχανής προσφέρει νέες μαθησιακές εμπειρίες. Επομένως η σύγχρονη εκπαίδευση τόσο στα εφαρμοσμένα μαθηματικά, όσο και στην Εκμάθηση Μηχανής στηρίζεται στην εξαγωγή της γνώσης μέσα από εμπειρίες και πρότερες γνώσεις κάνοντας τον μαθητή να νιώσει κατανοώντας και να κατανοήσει νιώθοντας. Αυτή άλλωστε είναι και η ουσία της εκπαίδευσης = education (από το ρήμα educe που σημαίνει εξάγω). Η ενσωμάτωση αυτών των ιδεών αναδεικνύεται σε ουσιαστικό παράγοντα ανάπτυξης της κατανόησης και της κριτικής ερμηνείας των μαθηματικών δραστηριοτήτων του κόσμου και αποτελεί ουσιαστική διάσταση της πολιτειότητας (citizenship).

ΝΕΩΤΕΡΙΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ

Σε μια «μαθηματικοποιημένη» (mathematized) κοινωνία, ο κοινωνικός αντίκτυπος της ισχύος των μαθηματικών αποτυπώνεται αναμφισβήτητα σε κάθε έκφανση της ανθρώπινης ζωής. Τα μαθηματικά αποτελούν συστατικό δομικών και ιδεολογικών δυνάμεων που επηρεάζουν ποικιλοτρόπως την προσωπική και κοινωνική ζωή ενώ δεν υπάρχει πολιτική διαδικασία λήψης αποφάσεων, στην οποία τα μαθηματικά να μην χρησιμοποιούνται ως ορθολογικό επιχείρημα και αντικειμενική βάση που υποκαθιστά τις πολιτικές κρίσεις και τις σχέσεις εξουσίας. Την ίδια στιγμή, η διάδοση της ΤΝ διανοίγει νέες οδούς εξερεύνησης δυσνόητων μαθηματικών προβλημάτων μέσω της αιτιώδους συλλογιστικής, της τυχαιοποίησης (randomization) και της τυποποίησης των διαδικασιών (standardization), ενώ παράλληλα επιτάσσει την εξοικείωση και την αβίαστη διεπαφή με στοχαστικούς αλγόριθμους που είναι ικανοί να προσφέρουν λύσεις ικανοποιητικές (όχι κατά ανάγκη βέλτιστες), σε αποδεκτό υπολογιστικό χρόνο. Ως εκ τούτου, η διδασκαλία μαθημάτων με αυστηρή αξιωματική θεμελίωση, όπως τα μαθηματικά, δεν διδάσκονται σήμερα ξεκινώντας από τις αρχές (τους ορισμούς δηλαδή και τα αξιώματα), τα δόγματα και τους νόμους. Για τη διδασκαλία συνδυάζονται περισσότερο εμπειρικές προσεγγίσεις και ανορθόδοξες (μη αναλυτικές) υπολογιστικές τεχνικές, ενώ προωθείται ένα ευρύ φάσμα επιστημολογικών θεωρήσεων και αναλυτικών εργαλείων. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα την διαμόρφωση φαινομενικά ασύνδετων προγραμμάτων εκπαίδευσης, που συχνά υπολείπονται μιας επαγωγικής διαδικασίας η οποία θα ξεκινούσε από τις αρχές και τα αξιώματα και θα κατέληγε στις εφαρμογές. Έτσι φαίνεται να υπερισχύει και να επιβάλλεται η εμπειρική προσέγγιση στην επιστήμη που θεμελιώθηκε αξιωματικά, ακριβώς για να θεμελιωθεί και να γίνει κοινή, αναιρώντας την εμπειρική αυθαιρεσία. Αυτή η μέθοδος παρουσίασης στους νέους επιστήμονες της δοκιμασμένης και θεμελιωμένης αξιωματικά επιστήμης μοιάζει εκ πρώτης όψεως αντιφατική, ενώ δεν είναι. Αντιθέτως, είναι απόλυτα λειτουργική και ενδεχομένως αναπόφευκτη. Από την μία, μπορεί να διασφαλίσει ότι οι δεξιότητες ανταποκρίνονται στις άμεσες ανάγκες της αγοράς, αφού επικεντρώνεται πρακτικά στην διερεύνηση των προγραμματιστικών απαιτήσεων για την λύση ενός προβλήματος σε συνθήκες αβεβαιότητας, βάσει πραγματικών δεδομένων. Από την άλλη, μπορεί να συντελέσει στην μακροπρόθεσμη απομυθοποίηση της ΤΝ (με όρους κατανοητούς αλλά και επιστημονικά άρτιους) καθώς και να ρυθμίσει ή/και να προσγειώσει τις προσδοκίες με τρόπο ανθρωποκεντρικό και συλλογικά ωφέλιμο, μακριά από θεωρίες συνωμοσίας και κλειστές κοινότητες.

Συνοψίζοντας, η αλληλεπίδραση μεταξύ της TN και των μαθηματικών εκτείνεται πέρα ​​από τον υπολογισμό, επηρεάζοντας τον ίδιο τον ιστό των θεωρητικών πλαισίων και ανοίγοντας το δρόμο για την διατύπωση νέων υποθέσεων και την ανακάλυψη νέων μαθηματικών θεωριών. Ο πρωτοφανής αντίκτυπος της TN στην μαθηματική επιστήμη (και τέχνη) δεν είναι περιφερειακός, αλλά εγγενής και ουσιαστικός, ενώ φαίνεται να οδηγεί σε έναν θεμελιώδη μετασχηματισμό ως προς τον τρόπο με τον οποίο αυτή εδραιώνεται και εξελίσσεται. Αυτή η εκ βάθρων αλλαγή σηματοδοτεί όχι μόνο μια απαράμιλλη τεχνολογική εξέλιξη αλλά κι έναν βαθύ επαναπροσδιορισμό των συνόρων της μαθηματικής γνώσης και κατανόησης, εντός των οποίων συγκροτείται η ανερχόμενη εκπαιδευτική πολιτική, η θεσμοθετημένη εκπαίδευση, καθώς και οι επαγγελματικές ταυτότητες εκπαιδευτικών, μαθητών και άλλων εμπλεκόμενων φορέων ή ατόμων. Στο πλαίσιο χάραξης εθνικής αλλά και ευρωπαϊκής πολιτικής, σημασιοδοτείται η ανάγκη για την ενημερωμένη αναδιάρθρωση των προγραμμάτων σπουδών, η επαρκής και ουσιώδης κατάρτιση του ανθρώπινου δυναμικού, αλλά και η ενδυνάμωση της διαρκούς συνεργασίας στην έρευνα και στην καινοτομία μεταξύ βιομηχανίας και πανεπιστημιακής κοινότητας, σε συνάρτηση με τις νεοσύστατες εκπαιδευτικές επιδιώξεις.